O modelo Black‑Scholes (ou Black‑Scholes‑Merton) é um dos pilares da teoria de precificação de opções. Desenvolvido por Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton na década de 1970, ele fornece uma fórmula fechada para estimar o valor justo de uma opção europeia, considerando variáveis como preço do ativo subjacente, preço de exercício, volatilidade, taxa livre de risco e tempo até o vencimento.
Embora tenha sido criado originalmente para ações e índices, o modelo ganhou popularidade no universo das Futures Trading: O que é, como funciona e por que você deve conhecer e, mais recentemente, para Futures, Alavancagem e Riscos: Guia Definitivo para Operadores de Criptomoedas em 2025. Neste artigo, vamos dissecar cada componente da fórmula, explicar suas limitações e mostrar como adaptá‑la ao mercado de criptomoedas.
1. A Fórmula Black‑Scholes
A equação padrão para uma opção de compra (call) europeia é:
C = S·N(d₁) – K·e^{-rT}·N(d₂)
onde:
- S = preço atual do ativo subjacente
- K = preço de exercício da opção
- r = taxa livre de risco (geralmente a taxa de títulos do governo)
- T = tempo até o vencimento (em anos)
- σ = volatilidade anualizada do ativo
- N(·) = função de distribuição cumulativa da normal padrão
Os termos d₁ e d₂ são calculados como:
d₁ = \frac{\ln(S/K) + (r + σ²/2)T}{σ\sqrt{T}}\n d₂ = d₁ - σ\sqrt{T}
2. Como obter cada parâmetro no mercado cripto
- Preço do ativo (S): preço à vista da criptomoeda (ex.: BTC/USDT) na exchange de referência.
- Preço de exercício (K): definido pelo contrato de opção que você está analisando.
- Taxa livre de risco (r): pode ser aproximada pela taxa de títulos do Tesouro dos EUA (USD) ou pela taxa de financiamento (funding rate) de futuros perpétuos, que costuma refletir o custo de carry.
- Volatilidade (σ): calculada a partir dos retornos históricos da criptomoeda. Uma prática comum é usar a volatilidade implícita dos próprios contratos de opções, quando disponíveis, ou a volatilidade histórica de 30 dias.
- Tempo até o vencimento (T): número de dias até a data de expiração dividido por 365.
3. Limitações do modelo no contexto cripto
- Assume que o preço segue um movimento Browniano geométrico, o que pode ser menos realista em mercados com picos de volatilidade.
- Não contempla jumps (saltos) repentinos de preço, comuns em notícias regulatórias.
- Taxas de juros negativas ou altamente voláteis podem distorcer o resultado.
Para mitigar esses problemas, traders avançados utilizam extensões como o modelo de Jump‑Diffusion de Merton ou o Stochastic Volatility de Heston.
4. Aplicação prática: exemplo de cálculo para um call de Bitcoin
Suponha que você queira precificar um call europeu de Bitcoin (BTC) com as seguintes características:
- S = US$ 30.000
- K = US$ 32.000
- r = 5% ao ano (0,05)
- σ = 80% ao ano (0,80)
- T = 30 dias ≈ 30/365 = 0,0822
Calculando d₁ e d₂:
d₁ = (ln(30000/32000) + (0,05 + 0,80²/2)·0,0822) / (0,80·√0,0822) ≈ -0,126 d₂ = d₁ - 0,80·√0,0822 ≈ -0,369
Usando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora), N(d₁) ≈ 0,450 e N(d₂) ≈ 0,356.
C = 30000·0,450 – 32000·e^{-0,05·0,0822}·0,356 ≈ 13.500 – 11.300 ≈ US$ 2.200
Portanto, o preço justo da opção seria aproximadamente US$ 2.200.
5. Estratégias de trading que utilizam Black‑Scholes
- Arbitragem de volatilidade: comparar a volatilidade implícita (derivada do preço da opção) com a volatilidade histórica para identificar oportunidades de compra ou venda.
- Delta‑hedging: usar o delta da opção (N(d₁)) para neutralizar o risco de preço do ativo subjacente.
- Estratégias de spread: combinar opções de diferentes strikes ou vencimentos, baseando‑se nos preços teóricos do modelo.
6. Recursos externos para aprofundamento
Para quem deseja estudar mais a fundo, recomendamos duas fontes de alta autoridade:
Compreender o modelo Black‑Scholes e suas nuances é essencial para quem quer operar opções de criptomoedas de forma profissional. Embora o modelo tenha limitações, ele fornece uma base quantitativa sólida para precificação, cobertura de risco e construção de estratégias avançadas.